Question

【題目】近幾年，由于環(huán)境的污染，霧霾越來(lái)越嚴(yán)重，某環(huán)保公司銷售一種PM2.5顆粒物防護(hù)口罩深受市民歡迎．已知這種口罩的進(jìn)價(jià)為40元，經(jīng)銷過(guò)程中測(cè)出年銷售量y（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，每年銷售這種口罩的總開(kāi)支z（萬(wàn)元）（不含進(jìn)價(jià)）與年銷量y（萬(wàn)件）存在函數(shù)關(guān)系z(mì)=10y+42.5．
（I）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系；
（II）寫(xiě)出該公司銷售這種口罩年獲利W（萬(wàn)元）關(guān)于銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式
（年獲利=年銷售總金額﹣年銷售口罩的總進(jìn)價(jià)﹣年總開(kāi)支金額）；當(dāng)銷售單價(jià)x為何值時(shí)，年獲利最大？最大獲利是多少？
（III）若公司希望該口罩一年的銷售獲利不低于57.5萬(wàn)元，則該公司這種口罩的銷售單價(jià)應(yīng)定在什么范圍？在此條件下要使口罩的銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

Answer 1

【答案】解：（I）由題意，設(shè)y=kx+b，圖象過(guò)點(diǎn)（70，5），（90，3）， ，得k=﹣ ，b=12，

∴

（II） 由題意，得

w=y（x﹣40）﹣z

=y（x﹣40）﹣（10y+42.5）

=（﹣ x+12）（x﹣40）﹣10（﹣ x+12）﹣42.5

=﹣0.1x2+17x﹣642.5=﹣ （x﹣85）2+80．

當(dāng)銷售單價(jià)為85元時(shí)，年獲利最大，最大值為80萬(wàn)元

（III）令W≥57.5，﹣0.1x2+17x﹣642.5≥57.5，

整理得x2﹣170x+7000≤0，解得70≤x≤100．

故要使該口罩一年的銷售獲利不低于57.5萬(wàn)元，單價(jià)應(yīng)在70元到100元之間．

又因?yàn)殇N售單價(jià)越低，銷售量越大，所以要使銷售量最大且獲利不低于57.5萬(wàn)元，銷售單價(jià)應(yīng)定為70元．

【解析】（I）由圖象可知y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b，用“兩點(diǎn)法”可求解析式；（II）根據(jù)年獲利=年銷售總金額一年銷售產(chǎn)品的總進(jìn)價(jià)一年總開(kāi)支金額，列出函數(shù)關(guān)系式；（III）令W≥57.5，從而確定銷售單價(jià)x的范圍，及二次函數(shù)w最大時(shí)，x的值．