Question

【題目】已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足：a7=a6+2a5 ， 若存在兩項(xiàng)am、an使得 ，則 的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由 a7=a6+2a5 ， 可得到 a6q=a6+2 ，
由于 an＞0，所以上式兩邊除以a6 得到q=1+ ，解得q=2或q=﹣1．
因?yàn)楦黜?xiàng)全為正，所以q=2．
由于存在兩項(xiàng) am ， an 使得 ，所以，aman=8 ，
即 =8 ，∴qm+n﹣2=8，∴m+n=5．
當(dāng) m=1，n=4時(shí)， =2； 當(dāng) m=2，n=3時(shí)， = ；當(dāng) m=3，n=2時(shí)， = ；
當(dāng) m=4，n=1時(shí)， = ．
故當(dāng) m=2，n=3時(shí)， 取得最小值為 ，
所以答案是 ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了基本不等式和等比數(shù)列的基本性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）；變形公式：；{an}為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列;{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列== {an}是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列才能正確解答此題．