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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          如圖,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD為矩形,ADEF為梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2,DE=1
          (1)求證:CE∥面ABF;
          (2)若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為
          13
          ,求AB的長.
          分析:(1)由矩形的對邊平行,結合已知及面面平行的第二判定定理,可得面ABF∥面CDE,進而由面面平行的性質得到CE∥面ABF
          (2)設AB=x,以F為原點,AF,EF所有直線分別為x,y軸建立空間坐標系,分別求出平面ABF和平面BFD的法向量,結合二面角A-BF-D的平面角的余弦值為
          1
          3
          ,構造關于x的方程,解方程可得AB的長.
          解答:證明:(1)∵ABCD為矩形,
          ∴AB∥CD,
          又∵AF∥DE,AB,AF?面ABF,AB∩AF=A,CD,DE?面CDE
          ∴面ABF∥面CDE
          又∵CE?面CDE
          ∴CE∥面ABF;
          (2)設AB=x,以F為原點,AF,EF所有直線分別為x,y軸建立空間坐標系,
          ∵AF=AD=2,DE=1
          則F(0,0,0),A(-2,0,0),D(-1,
          3
          ,0),B(-2,0,x)
          DF
          =(1,-
          3
          ,0),
          BF
          =(2,0,-x)
          ∵EF⊥平面ABF,
          n
          =(0,1,0)為平面ABF的一個法向量
          m
          =(a,b,c)為平面BFD的一個法向量,則
          m
          DF
          =0
          m
          BF
          =0
          ,即
          a-
          3
          b=0
          2a-xc=0

          令b=1,則
          m
          =(
          3
          ,1,
          2
          3
          x

          ∵cos<
          m
          ,
          n
          >=
          1
          3

          解得x=
          2
          5
          15

          ∴AB=
          2
          5
          15
          點評:本題考查的知識點是直線與平面平行的判定,二面角的求法,熟練掌握空間線面關系判定的方法和步驟是解答(1)的關鍵.建立空間坐標系將二面角問題轉化為向量夾角問題是解答(2)的關鍵.
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          ,G是EF的中點.
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          AD=a,G是EF的中點,則GB與平面AGC所成角的正弦值為( 。

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          AD
          ,G是EF的中點,則GB與平面AGC所成角的正弦值為( 。
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          6
          B、
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