Question

如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=

1

2

AD=a，G是EF的中點．
（1）求證：平面AGC⊥平面BGC；
（2）求二面角B-AC-G的大�。�

Answer 1

分析：（1）由G是矩形ABEF的邊EF的中點，我們由已知中ABEF是矩形，且 AF=

1

2

AD=2，得到AG，及BG的長，根據(jù)勾股定理，我們可得到AG⊥BG，又由平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，我們易得到BC⊥平面ABEF，進而由線面垂直的定義得到BC⊥AG，由線面垂直及面百垂直的判定定理，即可得到平面AGC⊥平面BGC；
（2）二面角B-AC-G的大小，先作出部署二面角的平面角，作GM⊥AB于M，則M為AB中點，M為G的射影，作GH⊥AC于H，連接MH，從而可知所求角∠GHM，進而可求．

解答：解：（1）證明：∵G是矩形ABEF的邊EF的中點
∴AG=BG=

22+22

=2

2

∴AG²+BG²=AB²
∴AG⊥BG
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
且BC⊥AB
∴BC⊥平面ABEF，
又∵AG?平面ABEF，
∴BC⊥AG
∵BC∩BG=B
∴AG⊥平面BGC
∵AG?平面AGC
∴平面AGC⊥平面BGC；
 （2）作GM⊥AB于M，則M為AB中點，M為G的射影
作GH⊥AC于H，連接MH
則所求角∠GHM
Rt△ACB中，GM=a，MH=

1

2

BD=

2

a
∴∠GHM=arctan

2

2

．

點評：本題以面面垂直為載體，考查面面垂直的判定與行政，考查面面角，關(guān)鍵是正確運用定理，尋找線面垂直．