Question

【題目】已知四棱錐中，面面，底面為矩形，且，，，O為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且．

（1）證明：；

（2）在上是否存在一點(diǎn)F，使面，若存在，試確定點(diǎn)F的位置．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在F為PB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B)，證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）連接，利用勾股定理可證明，由面面可得，可得面，即可求證；

（2）取F為PB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B)，N為BC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B )，連接，可證明平面平面，即可得證

（1）連接,，如圖，

在四棱錐中，，O為的中點(diǎn)，

，又面面，

面，

在矩形中，，，

由勾股定理知，解得，

,

,

,

又，

面,又平面，

（2）存在F為PB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B).

證明：取BC的三等分點(diǎn)M (靠近點(diǎn)C ) ,連接AM , 如圖

易知,

四邊形是平行四邊形，

，

取BM中點(diǎn)N，連接ON，

N為BM中點(diǎn)， N為BC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B )，

連接，

,

又，

平面平面，又平面

面