Question

【題目】已知函數(shù)，．

(1)對,恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)時(shí)，求在 上的最大值和最小值；

(3)證明：對都有成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）原不等式等價(jià)于，參變分離可求參數(shù)的取值范圍.

（2）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的極小值點(diǎn)為，因函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，故分 和兩種情況分類討論即可.

（3）即證在上恒成立，也就是在上恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)可證.

（1）由題意，在恒成立，

即，，在恒成立，

設(shè)，只須．

由于

所以時(shí)，，單調(diào)遞減；

時(shí)，，單調(diào)遞增；

故．因此．

所以的取值范圍為．

（2）時(shí)，，，令，得．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

時(shí)，，單調(diào)遞增．

故在時(shí)，為最小值點(diǎn)，且．

由題意 ，，

1°當(dāng)時(shí)，在最小值為，

，

由于．

．

故．

即當(dāng)時(shí)，在最小值為，

最大值為．

2°當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

，

，

綜上所求．

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，．

（Ⅲ）即證：，

即證：，亦即證：，

設(shè)，即，

令，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．

即．

又設(shè)，．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．

故．

所以最小值與最大值均為．

但取得最小值與取得最大值時(shí)的不相同，故，

即成立，亦即結(jié)論成立．