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        1. 【題目】已知實數(shù),函數(shù),函數(shù).

          (Ⅰ)令,當時,試討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性;

          (Ⅱ)當時,令,是否存在實數(shù),使得對于函數(shù)定義域中的任意實數(shù),均存在實數(shù),有成立?若存在,求出實數(shù)的取值集合;若不存在,請說明理由.

          【答案】(Ⅰ)見詳解;(Ⅱ)

          【解析】分析:(Ⅰ)求導,討論參數(shù)的大小,進而研究函數(shù)的定義域和導數(shù)的符號變化,再確定函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)構造函數(shù),討論的范圍和的大小關系,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,再利用導數(shù)的符號變化確定函數(shù)的單調(diào)性,進而確定函數(shù)的最值.

          詳解:(Ⅰ)

          1. ,此時函數(shù)的定義域為故函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增, 內(nèi)單調(diào)遞減.

          2. ,,

          此時函數(shù)的定義域為,

          ,此時恒成立. ,

          函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.

          綜上時,函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減;當時,函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增, 內(nèi)單調(diào)遞減.

          (Ⅱ)當,假設存在實數(shù)滿足條件,

          上恒成立.

          1.

          可化為,

          問題轉(zhuǎn)化為:對任意恒成立(*);

          (1) 因為,

          所以函數(shù)時單調(diào)遞減,,

          從而函數(shù)時單調(diào)遞增,

          ,所以(*)成立,滿足題意;

          (2) ,

          因為,所以,,則當,

          ,所以函數(shù)時單調(diào)遞增,,

          從而函數(shù)時單調(diào)遞減,所以此時(*)不成立;

          所以當,恒成立時,;

          2.

          可化為

          ,

          問題轉(zhuǎn)化為:對任意的恒成立(**);

          (1),,所以函數(shù)時單調(diào)遞增,,,

          從而函數(shù)時單調(diào)遞增,所以,此時(**)成立;

          (2) ,

          ①若,必有,故函數(shù)上單調(diào)遞減

          所以,,

          從而函數(shù)時單調(diào)遞減,所以,此時(**)不成立;

          ② 若,所以,

          故函數(shù)上單調(diào)遞減,,

          所以函數(shù)時單調(diào)遞減,所以此時(**)不成立;

          所以當恒成立時,.

          綜上所述,,恒成立時,

          從而實數(shù)的取值集合為.

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