Question

【題目】已知，實(shí)數(shù)，函數(shù)，函數(shù).

（Ⅰ）令，當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于函數(shù)定義域中的任意實(shí)數(shù)，均存在實(shí)數(shù)，有成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)詳解；（Ⅱ）

【解析】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，討論參數(shù)的大小，進(jìn)而研究函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，再確定函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，討論的范圍和的大小關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的最值．

詳解：（Ⅰ）

1. ,此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減.

2. ,，

此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

令，此時(shí)恒成立. 令得，

函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件，

則在上恒成立．

1. 當(dāng)時(shí)，

可化為，

令

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意恒成立(*)；

又

（1） 時(shí)，因?yàn)?/span>，

故，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，，

即，從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，

故，所以(*)成立，滿(mǎn)足題意；

（2） 當(dāng)，，

因?yàn)?/span>，所以，記，則當(dāng)時(shí)，，

故，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，，

從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，此時(shí)(*)不成立；

所以當(dāng)，恒成立時(shí)，；

2. 當(dāng)時(shí)，

可化為

令，

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意的恒成立(**)；

又

（1）時(shí)，，故，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，，即，

從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以，此時(shí)(**)成立；

（2） 當(dāng)時(shí)，

①若，必有，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，即，

從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，此時(shí)(**)不成立；

② 若，則，所以時(shí)，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，

所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，此時(shí)(**)不成立；

所以當(dāng)，恒成立時(shí)，.

綜上所述，當(dāng)，恒成立時(shí)，，

從而實(shí)數(shù)的取值集合為.