Question

【題目】以橢圓的離心率為，以其四個頂點為頂點的四邊形的面積等于．

1求橢圓的標準方程；

2過原點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，是橢圓的右頂點，直線分別與軸交于點，問：以為直徑的圓是否恒過軸上的定點？若恒過軸上的定點，請求出該定點的坐標；若不恒過軸上的定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），．

【解析】

（1）由題意可得，從而解得橢圓的標準方程；（2）易知，設(shè)，，，從而可得，且，，，從而化簡可得，，假設(shè)存在滿足題意的軸上的定點，化簡可得，再結(jié)合解得結(jié)果.

（1）依題意，得，解得

故橢圓的標準方程為

（2），設(shè)，，

則由題意，可得

由橢圓對稱性可知：

，

因為三點共線，所以，解得

同理，可得

假設(shè)存在滿足題意的軸上的定點，則有，即

因為，

所以，即

整理得，

又

解得或．

故以為直徑的圓恒過軸上的定點，