Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M為BC的中點(diǎn).

（I）證明：AM⊥PM ；

(II)求二面角P－AM－D的大小.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）45°.

【解析】

（Ⅰ）以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出與的坐標(biāo)，利用數(shù)量積為零，即可證得結(jié)果；（Ⅱ）求出平面PAM與平面ABCD的法向量，代入公式即可得到結(jié)果.

（I）證明:以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,依題意，可得

∴

∴

即,∴AM⊥PM .

(II)設(shè)，且平面PAM，則

,即 ∴ ,

取，得；取，顯然平面ABCD，

∴，結(jié)合圖形可知，二面角P－AM－D為45°.