Question

【題目】被嘉定著名學(xué)者錢(qián)大昕贊譽(yù)為“國(guó)朝算學(xué)第一”的清朝數(shù)學(xué)家梅文鼎曾創(chuàng)造出一類(lèi)“方燈體”，“燈者立方去其八角也”，如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為棱上的四等分點(diǎn).

（1）求該方燈體的體積；

（2）求直線(xiàn)和的所成角；

（3）求直線(xiàn)和平面的所成角．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）計(jì)算出八個(gè)角（即八個(gè)三棱錐）的體積之和，然后利用正方體的體積減去這八個(gè)角的體積之和即可得出方燈體的體積；

（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出直線(xiàn)和的所成角；

（3）求出平面的法向量，利用空間向量法求出直線(xiàn)和平面的所成角的正弦值，由此可得出和平面的所成角的大小.

（1）在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為棱上的四等分點(diǎn)，

該方燈體的體積：；

（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

、、、，，，

設(shè)直線(xiàn)和的所成角為，則，

直線(xiàn)和的所成角為；

（3），，，，

設(shè)平面的法向量，

則，得，取，得，

設(shè)直線(xiàn)和平面的所成角為，則，

直線(xiàn)和平面的所成角為．