Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見詳解

【解析】

（1）利用等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想，緊接著分離參數(shù)，然后構(gòu)造新的函數(shù)，通過觀察新函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)新函數(shù)的值域與的關(guān)系，可得結(jié)果.

（2）利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分類討論，可得結(jié)果.

（1）依題意：

，

所以在上恒成立，

故，而，

當(dāng)時(shí)，，

故，解得，

即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）由（1）可得，

，

若，令

則；

若或，則，

令，解得，

記，，

其中；

①若，則；

②若，

則，故當(dāng)時(shí)，；

③若，

則，其中，

故當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，；

④若，

則，其中，

故當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，；

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在，

上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.