Question

已知橢圓E：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（），點(diǎn)M（，）在橢圓E上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（1，0），過Q點(diǎn)引直線與橢圓E交于兩點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；

Answer 1

(1)  (2)．

試題分析：解: （Ⅰ）∵橢圓E: （a,b>0）經(jīng)過M（-2，） ，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）,
∴ ，橢圓E的方程為；     5分
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線與橢圓E的兩個(gè)交點(diǎn)為A（），B（），相交所得弦的中點(diǎn)，∴ ，
①-②得，，
∴弦的斜率，
∵四點(diǎn)共線，∴，即，
經(jīng)檢驗(yàn)（0，0），（1，0）符合條件，
∴線段中點(diǎn)的軌跡方程是．    12分
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于性質(zhì)的準(zhǔn)確表示得到a,b,c的值，進(jìn)而得到方程，同時(shí)聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理以及斜率公式求解得到軌跡方程，屬于中檔題。