(本題滿分12分)如圖,橢圓C方程為

(

),點

為橢圓C的左、右頂點。

(1)若橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3,最小值為1,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線

與(1)中所述橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是左、右頂點),且滿足

,求證:直線

過定點,并求出該點的坐標(biāo)。
(1)

(2)

試題分析:解:(1) 由題意知

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)設(shè)

,由

…….(1)
聯(lián)立方程


帶入(1)式整理的

所以得,

當(dāng)

時,滿足

。此時,直線

恒過點

當(dāng)

時,滿足

。此時,直線

恒過點

不符合題意,舍。
所以,直線

恒過定點

。
點評:解決該試題的關(guān)鍵是利用橢圓性質(zhì)來求解方程,同時能利用韋達定理和垂直關(guān)系得到結(jié)論,屬于中檔題。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
設(shè)點

到直線

的距離與它到定點

的距離之比為

,并記點

的軌跡為曲線

.
(Ⅰ)求曲線

的方程;
(Ⅱ)設(shè)

,過點

的直線

與曲線

相交于

兩點,當(dāng)線段

的中點落在由四點

構(gòu)成的四邊形內(nèi)(包括邊界)時,求直線

斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,設(shè)點

、

分別是橢圓

的左、右焦點,

為橢圓

上任意一點,且

最小值為

.

(1)求橢圓

的方程;
(2)若動直線

均與橢圓

相切,且

,試探究在

軸上是否存在定點

,點

到

的距離之積恒為1?若存在,請求出點

坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)定點M(3,

)與拋物線

=2x上的點P的距離為

,P到拋物線準(zhǔn)線
l的距為

,則

+

取最小值時,P點的坐標(biāo)為
A.(0,0) | B.(1, ) | C.(2,2) | D.( ,- ) |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在直角坐標(biāo)系

中,以O(shè)為極點,

軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C
1的極坐標(biāo)方程為

,曲線

的參數(shù)方程為

,(

為參數(shù),

)。
(Ⅰ)求C
1的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)當(dāng)C
1與C
2有兩個公共點時,求實數(shù)

的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)已知直線

經(jīng)過橢圓

的左頂點A和上頂點D,橢圓

的右頂點為

,點

和橢圓

上位于

軸上方的動點,直線,

與直線

分別交于

兩點。

(I)求橢圓

的方程;
(Ⅱ)求線段MN的長度的最小值;
(Ⅲ)當(dāng)線段MN的長度最小時,在橢圓

上是否存在這
樣的點

,使得

的面積為

?若存在,確定點

的個數(shù),若不存在,說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知拋物線C
1:y
2=4x的焦點與橢圓C
2:

的右焦點F
2重合,F(xiàn)
1是橢圓的左焦點;
(Ⅰ)在

ABC中,若A(-4,0),B(0,-3),點C在拋物線y
2=4x上運動,求

ABC重心G的軌跡方程;
(Ⅱ)若P是拋物線C
1與橢圓C
2的一個公共點,且∠PF
1F
2=

,∠PF
2F
1=

,求cos


的值及

PF
1F
2的面積。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓E:

的焦點坐標(biāo)為

(

),點M(

,

)在橢圓E上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)Q(1,0),過Q點引直線

與橢圓E交于

兩點,求線段

中點

的軌跡方程;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
過拋物線y
2=2px(p>0)的焦點作傾斜角為30°的直線l與拋物線交于P,Q兩點,分別作PP¢、QQ¢垂直于拋物線的準(zhǔn)線于P¢、Q¢,若|PQ|=2,則四邊形PP¢Q¢Q的面積為
A.1 | B.2 | C. | D.3 |
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