Question

【題目】如圖，在五面體中，四邊形是正方形，，，.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)已知可證，可得四邊形為等腰梯形，進(jìn)而證明，再由已知可證平面，從而有，可得平面，即可證明結(jié)論；

（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如下圖所示），確定坐標(biāo)，求出平面的法向量坐標(biāo)，根據(jù)空間向量線面角公式，即可求解.

（1）證明：由已知，且平面，

平面，所以平面.

又平面平面，故.

又，

所以四邊形為等腰梯形，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以.

因?yàn)?/span>，，且，

所以平面.所以.

又，∴平面，

又平面，所以.

（2）如圖，以為原點(diǎn)，且，，分別為，，軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，

∴，，，

設(shè)平面的法向量為，

由，得，

令，得.

設(shè)直線與平面所成的角為，

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.