Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，，是棱的中點(diǎn)，，在線段上，且.

（1）證明：面；

（2）若，面面，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用三角形相似證明，然后證明面．

（2）過(guò)作于，以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)，

不妨設(shè)，求出面的一個(gè)法向量，面的一個(gè)法向量，然后利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解：（1）連接交于點(diǎn)，連接．

因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以，

又面，面，所以面.

（2）過(guò)作于，因?yàn)?/span>，所以是線段的中點(diǎn)．

因?yàn)槊?/span>面，面面，所以面．連接，

因?yàn)?/span>是等邊三角形，是線段的中點(diǎn)，所以.

如圖以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)，

不妨設(shè)，則，，，，，

由，得，的中點(diǎn)，，.

設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，即，

得方程的一組解為，即.

面的一個(gè)法向量為，則，

所以二面角的余弦值為.