Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，﹣2)，B(4，0)，圓C經(jīng)過點(diǎn)(0，﹣1)，(0，1)及(，0)．斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)B．

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)k＝2時，過直線l上的一點(diǎn)P向圓C引一條切線，切點(diǎn)為Q，且滿足PQ＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)M，N是圓C上任意兩個不同的點(diǎn)，若以MN為直徑的圓與直線l都沒有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P(3，﹣2)或(，)；（3）或．

【解析】

（1）設(shè)圓的一般方程，將三個點(diǎn)坐標(biāo)代入，即得結(jié)果,再配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)P(x，y)，根據(jù)切線長以及兩點(diǎn)間距離公式列方程，再根據(jù)點(diǎn)P在直線上。聯(lián)立方程組解得結(jié)果；

（3）根據(jù)垂徑定理列出以MN為直徑的圓上點(diǎn)滿足的條件（一個實(shí)心圓），再根據(jù)直線與圓位置關(guān)系列不等式解得結(jié)果.

（1）設(shè)圓C的方程為，

因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)(0，﹣1)，(0，1)及(，0)

所以，解得，

所以圓C的方程為：，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，

（2）設(shè)P(x，y)，由PQ與圓C切于點(diǎn)Q，得PQ2＝PC2﹣CQ2，又PQ＝PA，

所以，整理得，

又點(diǎn)P在直線l：上，

由，得或

所以P(3，﹣2)或(，)，

（3）設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為K，T是該圓上任意一點(diǎn)

則K為MN中點(diǎn)，設(shè)CK＝d，則圓K的半徑為

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>M，N是圓C上任意兩個不同的點(diǎn)，所以d∈[0，)，

對于任意d∈[0，)，，所以0≤CT2≤4，

故點(diǎn)T總在以C(﹣1，0)為圓心，2為半徑的圓上或其內(nèi)部，

故直線l：y＝k(x﹣4)，即kx﹣y﹣4k＝0，與該圓無公共點(diǎn)，

所以，解得或．