Question

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）試討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）記的零點(diǎn)為，的極小值點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，求證.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，分和a<0進(jìn)行討論，可得函數(shù)單調(diào)性；（Ⅱ）對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，分析單調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理可確定的零點(diǎn)即極小值點(diǎn)，從而得到a與的等量關(guān)系，將等量關(guān)系代入中，利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性即可得到證明.

解：（Ⅰ） .

若，則，在上單調(diào)遞增；

若，則必有一正一負(fù)兩根，且正根為.

當(dāng)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)，，在上單調(diào)遞減.

綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ），，

所以在單調(diào)遞增.

又，，

故存在零點(diǎn)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即為的極小值點(diǎn)，

故.

由知，，

所以 ，

又，所以.

由（Ⅰ）可知，時(shí)，在單調(diào)遞增，

因此.