Question

【題目】如圖，在三棱柱中，底面，△ABC是邊長為的正三角形，，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)M，使平面？說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見證明；(Ⅱ) （Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）推導(dǎo)出AA1⊥CD，CD⊥AB，由此能證明CD⊥平面AA1B1B．

（Ⅱ）取A1B1中點(diǎn)F，連結(jié)DF，如圖空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣B1的余弦值．

（Ⅲ）假設(shè)線段B1C1上存在點(diǎn)M，使BM⊥平面AB1E．則λ∈[0，1]，使得．求出平面AB1法向量，利用向量法能求出在線段B1C1上不存在點(diǎn)M，使BM⊥平面AB1E．

（Ⅰ）證明：在三棱柱中，

因?yàn)?/span>底面，CD平面ABC，

所以．

又為等邊三角形，為的中點(diǎn)，

所以．因?yàn)?/span>，

所以平面；

（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié)，則

因?yàn)?/span>，分別為， 的中點(diǎn)，

所以．

由（Ⅰ）知，，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

由題意得，，， ,,,,，

，．

設(shè)平面 法向量，

則即

令，則，．即．

平面BAE法向量．

因?yàn)?/span>，，，

所以

由題意知二面角為銳角，所以它的余弦值為.

（Ⅲ）解：在線段上不存在點(diǎn)M，使平面．理由如下．

假設(shè)線段上存在點(diǎn)M，使平面．則

，使得．

因?yàn)?/span>，所以．

又，所以．

由（Ⅱ）可知，平面法向量，

平面，當(dāng)且僅當(dāng)，

即，使得．

所以 解得．

這與矛盾．

所以在線段上不存在點(diǎn)M，使平面．