Question

【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，下頂點(diǎn)為B，過(guò)A、O、B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點(diǎn)M在x軸正半軸上，過(guò)點(diǎn)B作BM的垂線與橢圓交于另一點(diǎn)N，若∠BMN=60°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角可知為直徑，根據(jù)圓心坐標(biāo)求得的值進(jìn)而求得橢圓的方程.（2）由（1）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，同時(shí)得到直線的方程.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得的表達(dá)式.通過(guò)直線的方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的表達(dá)式，利用得到，由此列方程解得的值，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）依題意知,,

∵△AOB為直角三角形，∴過(guò)A、O、B三點(diǎn)的圓的圓心為斜邊AB的中點(diǎn)，

∴，即，

∴橢圓的方程為.

（2）由（1）知，依題意知直線BN的斜率存在且小于0，

設(shè)直線BN的方程為，

則直線BM的方程為：，

由消去y得，

解得：，,

∴

∴ ,

在中，令得，即

∴，

在Rt△MBN中，∵∠BMN=60°，∴,

即，整理得，

解得，∵，∴，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為.