Question

【題目】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，若對(duì)一切正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；.

（3）是否存在正整數(shù)，使得。成等比數(shù)列？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不存在.

【解析】

（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列的前項(xiàng)和；

（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，，求出，進(jìn)而求出；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，，求出，進(jìn)而求出，由此能求出的取值范圍；

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，，使得，，成等比數(shù)列，由此利用已知條件推導(dǎo)出等式不成立，從而得到不存在正整數(shù)，，使得，，成等比數(shù)列．

（1）設(shè)數(shù)列的公差為．

，，

，解得，，

；

（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：，不等式

分離參數(shù)得到研究右邊函數(shù)性質(zhì)，

此為單調(diào)遞增，所以

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：，不等式

，從而

綜上：；

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，()，使得/span>，，成等比數(shù)列，
則，即，

∴，即，

即.

，，，∴．

是整數(shù)，等式不成立，

故不存在正整，，使得，，成等比數(shù)列.