Question

【題目】已知偶函數(shù).

（1）若方程有兩不等實(shí)根，求的范圍；

（2）若在上的最小值為2，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由偶函數(shù)的定義，利用，求得的值，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題設(shè)條件，即可求解實(shí)數(shù)的范圍；

（2）利用換元法和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)的閉區(qū)間上的求法，分類討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可求解.

（1）因?yàn)?/span>，所以的定義域?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，即，

所以，故，

所以，即方程的解為一切實(shí)數(shù)，所以，

因?yàn)?/span>，且，

所以原方程轉(zhuǎn)化為，

令，，

所以所以在上是減函數(shù)，是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，使成立的有兩個(gè)，

又由知，與一一對(duì)應(yīng)，

故當(dāng)時(shí)，有兩不等實(shí)根；

（2）因?yàn)?/span>，所以，

所以，

令，則，令，設(shè)，

則，

因?yàn)?/span>，所以，即在上是增函數(shù)，

所以，

設(shè)，則.

（i）當(dāng)時(shí)，的最小值為，

所以，解得，或4（舍去）；

（ii）當(dāng)時(shí)，的最小值為，不合題意；

（iii）當(dāng)時(shí)，的最小值為，

所以，解得，或（舍去）.

綜上知，或.