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        1. (2011•杭州一模)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).
          (I)若f(x)在[0,2]上的最大值為0,求a的值;
          (II)若f(x)在閉區(qū)間[α,β]上單調(diào),且{y|y=f(x),α≤x≤β}=[α,β],求α的取值范圍.
          分析:(Ⅰ)根據(jù)對稱軸的位置,利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出該二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值,再由最大值為0,求出a的值.
          (Ⅱ) 若f(x)在[α,β]上遞增,則有(1)-
          2a+1
          2
          ≤α
          ;(2)
          f(α)=α
          f(β)=β
          ,即方程f(x)=x在[-
          2a+1
          2
          ,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根,由
          -
          2a+1
          2
          <-a
          △>0
          g(-
          2a+1
          2
          )≥0
          求得a的取值范圍.若f(x)在[α,β]上遞減,同理求得a的取值范圍.再把a(bǔ)的取值范圍取并集,即得所求.
          解答:解:(Ⅰ) 當(dāng)-
          2a+1
          2
          ≤1
          ,即:a≥-
          3
          2
          時(shí),f(x)max=f(2)=a2+7a+6=0
          故 a=-6(舍去),或a=-1;
          當(dāng)-
          2a+1
          2
          >1
          ,即:a<-
          3
          2
          時(shí),f(x)max=f(0)=a2+3a=0
          故a=0(舍去)或a=-3.
          綜上得:a的取值為:a=-1或a=-3. (5分)
          (Ⅱ) 若f(x)在[α,β]上遞增,則滿足:(1)-
          2a+1
          2
          ≤α
          ;(2)
          f(α)=α
          f(β)=β
          ,
          即方程f(x)=x在[-
          2a+1
          2
          ,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根.
          方程可化為x2+2ax+a2+3a=0,設(shè)g(x)=x2+2ax+a2+3a,
          -
          2a+1
          2
          <-a
          △>0
          g(-
          2a+1
          2
          )≥0
          ,解得:-
          1
          12
          ≤a<0
          .     (5分)
          若f(x)在[α,β]上遞減,則滿足:
          (1)-
          2a+1
          2
          ≥β
          ;(2)
          f(α)=β
          f(β)=α

          α2+(2a+1)α+a2+3a=β
          β2+(2a+1)β+a2+3a=α
          得,兩式相減得(α-β)(α+β)+(2a+1)(α-β)=β-α,即α+β+2a+1=-1.
          即β=-α-2a-2.
          ∴α2+(2a+1)α+a2+3a=-α-2a-2,即α2+(2a+2)α+a2+5a+2=0.
          同理:β2+(2a+2)β+a2+5a+2=0.
          即方程x2+(2a+2)x+a2+5a+2=0在(-∞,-
          2a+1
          2
          ]
          上有兩個(gè)不相等的實(shí)根.
          設(shè)h(x)=x2+(2a+2)x+a2+5a+2,則
          -
          2a+1
          2
          >-a-1
          △>0
          h(-
          2a+1
          2
          )≥0
          ,解得:-
          5
          12
          ≤a<-
          1
          3
          .    (5分)
          綜上所述:a∈[-
          5
          12
          ,-
          1
          3
          )∪[-
          1
          12
          ,0)
          點(diǎn)評:本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•杭州一模)設(shè)α∈(0, 
          π
          2
          )
          .若tanα=
          1
          3
          ,則cosα=
          3
          10
          10
          3
          10
          10

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•杭州一模)已知點(diǎn)O為△ABC的外心,角A,B,C的對邊分別滿足a,b,c,
          (I)若3
          OA
          +4
          OB
          +5
          OC
          =
          0
          ,求cos∠BOC的值;
          (II)若
          CO
          AB
          =
          BO
          CA
          ,求
          b2+c2
          a2
          的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•杭州一模)設(shè)函數(shù)f(x)=x-2sinx是區(qū)間[t,t+
          π
          2
          ]上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•杭州一模)已知等比數(shù)列{an}的公比大于1,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S3=39,且a1,
          2
          3
          a2
          ,
          1
          3
          a3
          依次成等差數(shù)列.
          (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (II)若數(shù)列{bn}滿足:b1=3,bn=an
          1
          a1
          +
          1
          a2
          +…+
          1
          an-1
          )(n≥2),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•杭州一模)設(shè)函數(shù)f(x)=
          2+log3x,x>0
          3-log2(-x),x<0
          ,則f(
          3
          )+f(-
          2
          )=( 。

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