Question

（2011•杭州一模）已知點(diǎn)O為△ABC的外心，角A，B，C的對(duì)邊分別滿(mǎn)足a，b，c，
（I）若3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

，求cos∠BOC的值；
（II）若

CO

•

AB

=

BO

•

CA

，求

b2+c2

a2

的值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)三角形ABC的外接圓半徑為R，將已知的等式變形后，左右兩邊平方，由O為三角形的外心，得到|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=R，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算，可得出cos∠BOC的值；
（II）將已知的等式左右兩邊利用平面向量的減法法則計(jì)算，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則變形，整理后利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用正弦定理變形后，整理可得出所求式子的值．

解答：解：（Ⅰ） 設(shè)外接圓半徑為R，由3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

得：4

OB

+5

OC

=-3

OA

，
平方得：16R²+40

OB

•

OC

+25R²=9R²，即

OB

•

OC

=-

4

5

R²，
則cos∠BOC=-

4

5

；                    
（Ⅱ）∵

CO

•

AB

=

BO

•

CA

，
∴

CO

•(

OB

-

OA

)=

BO

(

OA

-

OC

)，
即：-

OC

•

OB

+

OC

•

OA

=-

OB

•

OA

+

OB

•

OC

，
可得：-R²cos2A+R²cos2B=-R²cos2C+R²cos2A，
∴2cos2A=cos2C+cos2B，
即：2（1-2sin²A）=2-（2sin²B+2sin²C），
∴2sin²A=sin²B+sin²C，
∴利用正弦定理變形得：2a²=b²+c²，
∴

b2+c2

a2

=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦定理，以及向量在幾何中的運(yùn)用，熟練掌握平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．