Question

【題目】如圖所示，四邊形AMNC為等腰梯形，△ABC為直角三角形，平面AMNC與平面ABC垂直，AB=BC，AM=CN，點(diǎn)O、D、E分別是AC、MN、AB的中點(diǎn)．過點(diǎn)E作平行于平面AMNC的截面分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，H是FG的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：OB⊥EH；
（Ⅱ）若直線BH與平面EFG所成的角的正弦值為 ，求二面角D﹣AC﹣H的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：因為點(diǎn)O、D分別是等腰梯形AMNC兩底AC、MN的中點(diǎn)，所以O(shè)D⊥OC．又AB=BC，
則OB⊥AC．于是等腰梯形AMNC與直角△ABC所成二面角的平面角為∠BOC，則∠BOC= ．即OB⊥OD，得OB⊥平面AMNC．
又平面AMNC∥平面EFG，則OB⊥平面EFG．
因為EG平面EFG，所以O(shè)B⊥EH．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以 為x軸、y軸、z軸
的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
設(shè)OA=a，OB=b，則O（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），D（0，0，b），C（﹣a，0，0）．
所以E（ ，F(xiàn)（0， ），G（﹣ ，H（﹣ ），有 ，平面EFG的一個法向量為 ．
設(shè)直線BH與平面EFG所成的角為α，則sinα=|cos＜ |= ，得a=b．
設(shè)平面HAC的法向量為 ，由 ，取y=1，得 ，
所以cos＜ ＞= ，
因為二面角D﹣AC﹣H為銳二面角，所以二面角D﹣AC﹣H的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由題意知等腰梯形AMNC與直角△ABC所成二面角的平面角為∠BOC，則∠BOC= ． 得OB⊥平面AMNC．又平面AMNC∥平面EFG，則OB⊥平面EFG即可．（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以 為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
設(shè)OA=a，OB=b，則O（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），D（0，0，b），C（﹣a，0，0）．利用向量法求解．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系(相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn))．