Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若是定義在上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，判斷與的圖象在其公共點(diǎn)處是否存在公切線？若存在，求滿足條件的a值的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）存在，理由見解析.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)實(shí)數(shù)a的不同取值進(jìn)行分類討論，最后可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2））假設(shè)，的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，對(duì)兩個(gè)函數(shù)分別求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，和切線的斜率列出方程組，化簡得到關(guān)于a的方程，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的零點(diǎn)情況進(jìn)而可以判斷出方程的根的情況，最后可以判斷出是否存在公切線.

（1）.

當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，滿足題意；

當(dāng)時(shí)，要使得在上單調(diào)，則恒有.

∴，解得：.

綜上，或

（2）假設(shè)，的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，

則

由①可得：

∴.

將代入②，則，即：.

令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又，且當(dāng)，；當(dāng)，

∴在有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程在有兩個(gè)不同的解.

所以，與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，滿足條件的a值有2個(gè)