Question

【題目】已知定義在實(shí)數(shù)集R的函數(shù)f（x）滿足f（1）=4，且f（x）導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜3，則不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集為（ ）
A.（1，+∞）
B.（e，+∞）
C.（0，1）
D.（0，e）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設(shè)t=lnx，
則不等式f（lnx）＞3lnx+1等價(jià)為f（t）＞3t+1，
設(shè)g（x）=f（x）﹣3x﹣1，
則g′（x）=f′（x）﹣3，
∵f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜3，
∴g′（x）=f′（x）﹣3＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∵f（1）=4，
∴g（1）=f（1）﹣3﹣1=0，
則當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜g（1）=0，
即g（x）＜0，則此時(shí)g（x）=f（x）﹣3x﹣1＜0，
即不等式f（x）＞3x+1的解為x＜1，
即f（t）＞3t+1的解為t＜1，
由lnx＜1，解得0＜x＜e，
即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集為（0，e），
故選：D．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本求導(dǎo)法則的相關(guān)知識(shí)，掌握若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)．