Question

【題目】已知曲線C上每一點(diǎn)到直線l：的距離比它到點(diǎn)的距離大1.

（1）求曲線C的方程；

（2）曲線C任意一點(diǎn)處的切線m（不含x軸）與直線相交于點(diǎn)M，與直線l相交于點(diǎn)N，證明：為定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，為定值0.

【解析】

（1）利用拋物線的定義可得曲線是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，軸為對稱軸，為焦點(diǎn)的拋物線，從而求出曲線的方程；

（2）依題意，切線的斜率存在且不等于0，設(shè)切線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，利用△得到，故切線的方程可寫為，進(jìn)而求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表達(dá)出和，即可證得為定值．

解：（1）由題意可知，曲線C上每一點(diǎn)到直線的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)的距離，

曲線C是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，y軸為對稱軸，為焦點(diǎn)的拋物線.

曲線C的軌跡方程為：.

（2）依題設(shè)，切線m的斜率存在且不等于零，設(shè)切線m的方程為

（），

代入得，即.

由得，化簡整理得.

故切線m的方程可寫為.

分別令，得M，N的坐標(biāo)為，，

，.

.

即為定值0.