Question

【題目】已知兩定點(diǎn)，，點(diǎn)P滿足.

（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）若，直線l與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，，的斜率之和為2，問直線l是否恒過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)為

【解析】

（1）設(shè)P的坐標(biāo)為，由題意得，得到方程化簡(jiǎn)即可；

（2）分斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立直線與曲線方程，消元列出韋達(dá)定理根據(jù)得到、的關(guān)系，即可求出直線過的定點(diǎn).

解：（1）設(shè)P的坐標(biāo)為，由題意得，

化簡(jiǎn)得：

（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，

設(shè)，

則有，得，此時(shí)直線l與圓相切，不合題意.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，

設(shè)，，直線l的方程為，與軌跡C聯(lián)立得

，，，

所以

所以

所以直線l的方程為

所以直線l過定點(diǎn).