Question

設(shè)A是數(shù)集，且滿足條件：若a∈A，a≠1，則．求證：

　　(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個(gè)元素．

　　(2)集合A不可能是單元素集．

　　(3)集合A中至少有三個(gè)不同元素．

Answer 1

答案：
解析：

證明：所考知識(shí)點(diǎn)是集合中元素的性質(zhì)．由a∈A，a≠1，則∈A． 　　(1)若2∈A，則=-1∈A，于是∈A，故集合A中還有-1、兩個(gè)元素． 　　(2)若A為單元素集，則a= 　　即方程a2-a+1=0無(wú)實(shí)數(shù)解，∴　a≠ 　　∴　a與都為集合A的元素，則A不是單元素集． 　　(3)由已知，a∈A 　　現(xiàn)只需證明：a、、三數(shù)互不相等． 　　若，方程無(wú)解． 　　∴　a≠， 　　若，方程無(wú)解 　　∴　a≠， 　　若，方程無(wú)解． 　　∴　，故集合A中至少有三個(gè)元素． 　　說(shuō)明：解此題的關(guān)鍵在于會(huì)應(yīng)用集合中元素的互異性．由已知a∈A，則，即，即a∈A，這樣循環(huán)反復(fù)．因此說(shuō)明a、、互不相等．