Question

【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的恒有，已知當(dāng)時(shí)，，則

①是函數(shù)的一個(gè)周期；

②函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

③函數(shù)的最大值是，最小值是；

④是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱軸；

其中所有正確命題的序號(hào)是______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由題意可得：函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的恒有，從而可得到是函數(shù)的一個(gè)周期且是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱軸，結(jié)合周期性可得到函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求出函數(shù)的最值.

，

，

所以是函數(shù)的一個(gè)周期；即①正確；

當(dāng)時(shí)，，

則在上為增函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，

所以函數(shù)在上為減函數(shù)，

結(jié)合①中函數(shù)的周期性，

可得函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；即②正確；

結(jié)合①②的周期性和單調(diào)性，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)的最大值是，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)的最小值是；即③不正確；

因?yàn)?/span>且函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，

所以；即④正確；

故答案為：①②④