【題目】在
展開式的全體系數(shù)中，有多少個7的倍數(shù)？
【答案】1722
【解析】
將問題一般化.
先證明一個引理.
引理 設(shè)
為正整數(shù)，
為素數(shù)，
.若在的進(jìn)制表達(dá)式的各位數(shù)碼中，共有
個1，
個2，…，
個
，則在
展開式的各系數(shù)中，的倍數(shù)的個數(shù)為
.
證明 先求集合
中與互素的元素個數(shù).
記
.
因為為素數(shù)，
，所以，
.而
，
故
，
其中，
表示不超過實數(shù)
的最大整數(shù).
注意到，對每個
均有
.
故
. ①
設(shè)
，
，其中，
、
、
.
由式①依次得
，
.
對于上面每一式
，可以取0，1，…，
共
個值，故在集合
中，使得的
有
個.
若的進(jìn)制表示
的各位數(shù)碼
中，共有個1，個2，…，個，則
，即集合中有
個數(shù)與互素.
從而，在集合中有個數(shù)為的倍數(shù).
回到原題.
由2015的七進(jìn)制表達(dá)式為
，其數(shù)碼中有一個5，兩個6，則在
展開式的各系數(shù)中，7的倍數(shù)有
（個）.
口算題卡加應(yīng)用題集訓(xùn)系列答案
綜合自測系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
是定義在
上的偶函數(shù)，且對任意的
恒有
，已知當(dāng)
時，
，則
①
是函數(shù)的一個周期；
②函數(shù)在
上是減函數(shù)，在
上是增函數(shù)；
③函數(shù)的最大值是
，最小值是
；
④
是函數(shù)的一個對稱軸；
其中所有正確命題的序號是______.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱
的所有棱長均為2，底面
側(cè)面
， 
， 
為
的中點， 
.
（1）證明： 
.
（2）若
是
棱上一點，滿足
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)常數(shù)
．在平面直角坐標(biāo)系
中，已知點
，直線
：
，曲線
：
．與
軸交于點
、與交于點
．
、
分別是曲線與線段
上的動點．
（1）用
表示點到點
距離；
（2）設(shè)
，
，線段
的中點在直線
，求
的面積；
（3）設(shè)
，是否存在以、
為鄰邊的矩形
，使得點
在上？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點為極點，以
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線
的極坐標(biāo)方程為
.
（1）求曲線的普通方程；
（2）若與曲線相切，且與坐標(biāo)軸交于
兩點，求以
為直徑的圓的極坐標(biāo)方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形
所在平面與半圓弧
所在平面垂直，
是上異于
，
的點．
（1）證明：平面
平面
；
（2）在線段
上是否存在點
，使得
平面
？說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，設(shè)
為
內(nèi)一點，直線
、
、
與邊
、
、
分別交于點
、
、
．設(shè)分別以、
為直徑的兩圓交于點
、
，分別以、
為直徑的兩圓交于點
、
，分別以、
為直徑的兩圓交于點
、
．證明：、、、、、六點共圓．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同排課順序共有（ ）
A. 
種 B. 
種 C. 
種 D. 
種
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