Question

【題目】已知函數(shù)，．

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，證明：；

(Ⅱ)的圖象與的圖象是否存在公切線（公切線：同時(shí)與兩條曲線相切的直線）？如果存在，有幾條公切線，請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)是2條，證明見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，設(shè)l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，分別求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，即可得證；

（Ⅱ）先確定曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)并求出兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組，先化簡(jiǎn)方程得lnm﹣1．分別作出y＝lnx﹣1和y的函數(shù)圖象，通過(guò)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷方程的解的個(gè)數(shù)，即可得到所求結(jié)論．

（Ⅰ）當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，

h′（x）1，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減；0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；

可得h（x）在x＝1處取得最大值﹣1，可得h（x）≤﹣1＜0；

設(shè)l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，

l′（x）＝ex﹣1，當(dāng)x＞0時(shí)，l′（x）＞0，l（x）遞增；

可得l（x）＞l（0）＝1＞0，

綜上可得當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜x＜f（x）；

（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)是2，證明如下：

設(shè)公切線與g（x）＝lnx，f（x）＝ex的切點(diǎn)分別為（m，lnm），（n，en），m≠n，

∵g′（x），f′（x）＝ex，

可得，化簡(jiǎn)得（m﹣1）lnm＝m+1，

當(dāng)m＝1時(shí)，（m﹣1）lnm＝m+1不成立；

當(dāng)m≠1時(shí)，（m﹣1）lnm＝m+1化為lnm，

由lnx1，即lnx﹣1．

分別作出y＝lnx﹣1和y的函數(shù)圖象，

由圖象可知：y＝lnx﹣1和y的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

可得方程lnm有兩個(gè)實(shí)根，

則曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)是2條．