Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：與直線l：交于M，N兩點(diǎn)．

當(dāng)時，求的面積的取值范圍；

軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動時，總有？若存在，求以線段OP為直徑的圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，寫出韋達(dá)定理，利用弦長公式求得，用點(diǎn)到直線的距離公式求得到直線的距離，由此可求得三角形面積的表達(dá)式.再利用的取值范圍求得面積的取值范圍.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線的斜率，然后相加，利用（1）的韋達(dá)定理?xiàng)l件化簡，并令斜率和為零，由此求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得以為直徑的圓的方程.

（1）將代入，得，

設(shè)，，則，，

從而.

因?yàn)?/span>到的距離為，

所以的面積.

因?yàn)?/span>，所以.

（2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：

設(shè)為符合題意的點(diǎn)，直線，的斜率分別為，.

從而

.

當(dāng)時，有，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補(bǔ)，

故，所以點(diǎn)符合題意.

故以線段為直徑的圓的方程為.