Question

【題目】已知函數(shù)；

（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最值；

（3）當(dāng)時，對大于1的任意正整數(shù)，試比較與的大小關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是0；（3）見解析.

【解析】

（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出的范圍即可；
（2）將代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，令 ，得到 ，從而證出結(jié)論．

（1）因為，所以

因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以對恒成立，

所以對恒成立，即對恒成立，所以.

(2)當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)，，故在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上有唯一極小值點，故，又，，，

因為，所以，即

所以在區(qū)間上的最大值是

綜上可知，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是0.

（3）當(dāng)時，，，故在上為增函數(shù).

當(dāng)時，令，則，故

所以，即>

當(dāng)時，對大于1的任意正整數(shù)，有 >