Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）若對(duì)于任意，均有，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)于任意恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】分析：（1）先得出g（x）的具體表達(dá)式，然后結(jié)合基本不等式即可；

（2），設(shè)則.則在恒成立，接下來只需研究函數(shù)單調(diào)性確定其最小值解不等式即可；（3）存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)于任意恒成立，即存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)于任意恒成立，故研究函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的最大值解不等式求解即可.

詳解：

（1）

= ，

當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時(shí)取，所以當(dāng)時(shí)，.

(2)

設(shè)則.

則在恒成立，

記，

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)增.

故，不成立.

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)減，

在區(qū)間上單調(diào)增.

從而，，所以.

（3）存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)于任意恒成立，

即存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)

于任意恒成立，

記，則，

當(dāng)時(shí)，，則在為增函數(shù).

，此時(shí)不成立.

當(dāng)時(shí)，由得，

當(dāng)時(shí)，，則在為增函數(shù).

當(dāng)時(shí)，，則在為減函數(shù).

所以，

當(dāng)時(shí).

滿足題意當(dāng)時(shí)，令，則記，則

當(dāng)時(shí)，，，在為減函數(shù).

,不成立，

當(dāng)時(shí)，，，在為增函數(shù).

,不成立綜上，時(shí)滿足題意.