Question

【題目】如圖所示，有、、三座城市，城在城的正西方向，且兩座城市之間的距離為；城在城的正北方向，且兩座城市之間的距離為.由城到城只有一條公路，甲有急事要從城趕到城，現(xiàn)甲先從城沿公路步行到點(diǎn)（不包括、兩點(diǎn)）處，然后從點(diǎn)處開始沿山路趕往城.若甲在公路上步行速度為每小時(shí)，在山路上步行速度為每小時(shí)，設(shè)（單位：弧度），甲從城趕往城所花的時(shí)間為（單位：）.

（1）求函數(shù)的表達(dá)式，并求函數(shù)的定義域；

（2）當(dāng)點(diǎn)在公路上何處時(shí)，甲從城到達(dá)城所花的時(shí)間最少，并求所花的最少的時(shí)間的值.

Answer 1

【答案】（1）定義域?yàn)?/span>（2）點(diǎn)所在的位置為處，甲所花最短時(shí)間為.

【解析】試題分析：（1）先在直角三角形中用表示，，再根據(jù)時(shí)間等于路程除以速度得，最后根據(jù)實(shí)際意義得定義域，（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定單調(diào)性，進(jìn)而確定最值取法.

試題解析：解：（1）在中，，，

故.

由圖知，，故函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

（2）令

則.

令，可得，由可解得.

故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為

故當(dāng)時(shí)，函數(shù).

故點(diǎn)所在的位置為處，甲所花最短時(shí)間為.