Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等．

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)分別作射線、交曲線于不同的兩點(diǎn)、，且．試探究直線是否過定點(diǎn)？如果是，請求出該定點(diǎn)；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) 直線過定點(diǎn)．

【解析】

（1）根據(jù)題意得到，化簡得到答案.

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到，，根據(jù)得到，故代入方程得到答案.

（1）設(shè)，依題意，即，

化簡得，∴曲線的軌跡方程為．

（2）直線經(jīng)過定點(diǎn)

證明：如圖，依題意，直線斜率不能為0，所以設(shè)直線的方程為

聯(lián)立得， ①，

設(shè)、，則，．

又，∴，即，

即，

又，，∴，

∴，

依題意，直線不經(jīng)過，∴，

所以，．此時(shí)代入①式恒成立．

而當(dāng)時(shí)，直線方程為，即，

即直線過定點(diǎn)．

綜上，直線過定點(diǎn)．