Question

【題目】已知橢圓C：（）的焦距為，且右焦點(diǎn)F與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形.若直線l與橢圓C交于、，且在橢圓C上存在點(diǎn)M，使得：（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱直線l具有性質(zhì)H.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l垂直于x軸，且具有性質(zhì)H，求直線l的方程；

（3）求證：在橢圓C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R，使得直線、、都具有性質(zhì)H.

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3）證明見解析；

【解析】

(1)根據(jù)正三角形中的長度關(guān)系列出的關(guān)系求解即可.

(2) 設(shè)直線,再求得滿足的關(guān)系式,進(jìn)而代入化簡求解即可.

(3)假設(shè)存在橢圓C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R滿足條件,再將對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程,分情況討論得出矛盾即可.

(1),所以,

又右焦點(diǎn)F與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形,所以,

因?yàn)?/span>,

解得：,,

所以,橢圓方程為：

(2)設(shè)直線,則,

其中滿足：,,

設(shè),

∵（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,

∴,

∵點(diǎn)在橢圓上,

∴,

∴,

∴,

∴直線的方程為或.

(3) 證明：假設(shè)在橢圓上存在三個(gè)不同的點(diǎn),

使得直線都具有性質(zhì),

∵直線具有性質(zhì),

∴在橢圓上存在點(diǎn)M,使得：,

設(shè),則,,

∵點(diǎn)在橢圓上,∴,

又∵,,代入化簡得,①

同理：②, ,③

1)若中至少一個(gè)為0,不妨設(shè),則,

由①③得,即為長軸的兩個(gè)端點(diǎn),則②不成立,矛盾。

2)若均不為0,則由①②③得,矛盾。

∵在橢圓C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R,使得直線、、都具有性質(zhì)H.