Question

【題目】已知A，B是拋物線上的兩點，且在x軸兩側(cè)，若AB的中點為Q，分別過A，B兩點作T的切線，且兩切線相交于點P.

（1）求證：直線PQ平行于x軸；

（2）若直線AB經(jīng)過拋物線T的焦點，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4

【解析】

（1）分別求出拋物線T在點，處切線的斜率，寫出切線方程，將兩切線方程聯(lián)立解出點P的縱坐標(biāo)，再求出點Q的縱坐標(biāo)，即可判斷直線PQ與x軸平行；

（2）把點P的縱坐標(biāo)代入切線方程求出橫坐標(biāo)，得到點P的坐標(biāo)，把直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理求出，，從而求出點P到直線AB的距離d以及，再列出面積的表達式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值即可求解.

解：由題意，不妨設(shè)A在第一象限，B在第四象限.

設(shè)，.

（1）證明：拋物線在第一象限內(nèi)的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式為求導(dǎo)可得，

所以過點A的切線的斜率，

所以直線AP的方程為，

把代入化簡得，

同理可得直線BP的方程為，

聯(lián)立方程消去x得，

即P點的縱坐標(biāo)為.

又因為Q點的縱坐標(biāo)為，

所以直線PQ平行于x軸.

（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為，

由（1）知，

把代入直線BP的方程，

解得，所以.

因為拋物線焦點的坐標(biāo)為，且直線AB的斜率不為零，

所以設(shè)直線AB的方程為，

將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，

即，'消去x得，

因為，

所以，.

所以點P的坐標(biāo)為，

設(shè)點P到直線AB的距離為d，

則，

又因為

，

所以

.

故當(dāng)時，的面積取得最小值，最小值為4.