Question

【題目】橢圓，橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的取值范圍為.

（1）求橢圓的方程；

（2），，，分別與橢圓相切，且，，，如圖，，，，圍成的矩形的面積記為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的左、右頂點(diǎn)到橢圓的左焦點(diǎn)的距離分別為最小值和最大值列出方程組，求解即可；

（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程得到一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合矩形的面積公式得到面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求解面積的取值范圍.

（1）因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的取值范圍是，

設(shè)橢圓的焦距為，所以解得

所以，故橢圓的方程為.

（2）當(dāng)，軸或，軸時(shí)，；

當(dāng)，，，斜率都存在時(shí)，設(shè)，，，，

其中，且，.

將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得

∴.

由，得，∴，同理可得

∵，，

∴

.

∵，∴，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，

∴

∴，

綜上，