Question

【題目】關于函數(shù)，下列說法正確的是________.

①是的最大值點.

②函數(shù)有且只有1個零點.

③存在正實數(shù)，使得恒成立.

④對任意兩個不相等的正實數(shù)，若，則.

Answer 1

【答案】②④

【解析】

①對函數(shù)求導，結(jié)合函數(shù)極值的定義進行判斷即可；

②求函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及零點存在性定理，可判斷出零點個數(shù)；

③利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值進行判斷即可；

④設 ，則，構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可證明，再結(jié)合的單調(diào)性，可得到，即可得到.

對于①，的定義域為，，所以時，

函數(shù)單調(diào)遞減，時，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以是的極小值點而不是最大值點，即①不正確；

對于②，令，

則，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，

又，

，

所以函數(shù)有且只有1個零點，即②正確；

對于③，，可得，

令，則，

令，則，

所以時，函數(shù)單調(diào)遞增，

時，函數(shù)單調(diào)遞減，

則，所以，

即在上函數(shù)單調(diào)遞減，且，無最小值，

所以不存在正實數(shù)，使得恒成立，即③不正確；

對于④，對任意兩個不相等的正實數(shù)，

若，則，④正確.

證明如下：

由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

不妨設 ，則，則

，

令，則，令，

則，則，

所以在上是減函數(shù)，

所以，所以，

又因為在上單調(diào)遞增，所以，

故，即④正確.

故答案為：②④