Question

（2013•靜安區(qū)一模）設(shè)復(fù)數(shù)z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i（i為虛數(shù)單位），若對(duì)任意實(shí)數(shù)θ，|z|≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

[-

5

5

，

5

5

]

．

Answer 1

分析：首先利用復(fù)數(shù)莫得公式求模，然后利用三角函數(shù)進(jìn)行化簡，由|z|≤2得到不等式2

5

acos(θ+α)+5a2+1≤4，然后根據(jù)a的符號(hào)把該不等式分類轉(zhuǎn)化為不含三角函數(shù)的不等式，求解后對(duì)a取并集即可得到答案．

解答：解：由z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i，
所以|z|=

(a+cosθ)2+(2a-sinθ)2

=

(2acosθ-4asinθ)+5a2+1

=

2 5 a( 5 5 cosθ- 2 5 5 sinθ)+5a2+1

=

2 5 acos(θ+α)+5a2+1

（tanα=2）．
因?yàn)閨z|≤2，
所以2

5

acos(θ+α)+5a2+1≤4．
若a=0，此式顯然成立，
若a＞0，由2

5

acos(θ+α)+5a2+1≤4，
得5a2+2

5

a-3≤0，解得0＜a≤

5

5

．
若a＜0，由2

5

acos(θ+α)+5a2+1≤4，
得5a2-2

5

a-3≤0，解得-

5

5

≤a＜0．
所以對(duì)任意實(shí)數(shù)θ，滿足|z|≤2的實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-

5

5

，

5

5

]．
故答案為[-

5

5

，

5

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)模的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．