Question

已知函數(shù)，h（x）=2alnx，.
（1）當(dāng)a∈R時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的，且，都有
恒成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）不存在.

解析試題分析：(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，在定義域內(nèi)研究其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可.先求導(dǎo)函數(shù)
，因?yàn)槎�義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/35/2/1nlrz2.png" style="vertical-align:middle;" />，故只需討論分子符號(hào)，可結(jié)合二次函數(shù)的圖象判斷，此時(shí)①需討論交點(diǎn)的大小，②注意根與定義域比較，所以需和-2和0比較大小；（2）由對(duì)稱性，不妨設(shè)，去分母得，構(gòu)造函數(shù)，則其在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故在恒成立，而，分子二次函數(shù)開口向上，不可能永遠(yuǎn)小于0，故不存在.
試題解析：(1)，∴ , 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/35/2/1nlrz2.png" style="vertical-align:middle;" />.
①當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在在上是增函數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；在是是減函數(shù)；在上是增函數(shù)；
③當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；
④當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù).
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，且，都有恒成立，不妨設(shè)，要使，即.
令 ，只要在為減函數(shù).
又，由題意在上恒成立，得不存在. 
考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；2、二次函數(shù)的圖象；3、函數(shù)思想的應(yīng)用.