Question

已知數列{a_n}是公差不為零的等差數列，數列{b_n}滿足bn=an•an+1•an+2(n∈N+)，Sn為{bn}的前n項和．
（1）若{a_n}的公差等于首項a₁，證明對于任意正整數n都有Sn=

bnan+3

4d

；
（2）若{a_n}中滿足3a₅=8a₁₂＞0，試問n多大時，S_n取得最大值？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）用數學歸納法證明：當n=1時，原命題成立；假設當n=k時，Sk=

bkak+3

4d

成立，利用S_k+1=S_k+b_k+1，可證當n=k+1時，命題也成立
（2）根據3a₅=8a₁₂，可得a16=a5+11d=-

1

5

d＞0，a17=a5+12d=-

56

5

d+12d=

4

5

d＜0，從而b₁＞b₂＞…b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈…，b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0，進而可知S₁₄＞S₁₃＞…＞S₁，S₁₄＞S₁₅，S₁₅＜S₁₆，由此可得S_n中S₁₆最大．

解答：（1）證明：當n=1時，S1=b1，

b1a4

4d

=

b1(a1+3d)

4d

=b1，∴原命題成立
假設當n=k時，Sk=

bkak+3

4d

成立
則Sk+1=Sk+bk+1=

bkak+3+bk+1•4d

4d

=

ak•ak+1ak+2ak+3+bk+1•4d

4d

=

akbk+1+bk+14d

4d

=

bk+1(ak+4d)

4d

=

bk+1ak+4

4d

∴當n=k+1時，命題也成立
故對于任意正整數n都有Sn=

bnan+3

4d

；（6分）
（2）解：∵3a₅=8a₁₂，∴3a5=8(a5+7d)  ，  ∴a5=-

56

5

d
∴a16=a5+11d=-

1

5

d＞0，a17=a5+12d=-

56

5

d+12d=

4

5

d＜0
∴b₁＞b₂＞…b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈…，b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0
∴S₁₄＞S₁₃＞…＞S₁，S₁₄＞S₁₅，S₁₅＜S₁₆
又a15=a5+10d=-

6

5

d，a18=a5+13d=

9

5

d
∴a₁₅＜|a₁₈|，∴|b₁₅|＜b₁₆，b₁₅+b₁₆＞0
∴S₁₆＞S₁₄
故S_n中S₁₆最大（12分）

點評：本題考查數學歸納法的證明，考查數列的求和，考查函數思想，掌握數學歸納法的證題步驟是關鍵．