Question

定義一個(gè)“等積數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的積都是同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫“等積數(shù)列”，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{a_n}是等積數(shù)列，且a₁=2，公積為5，則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n的計(jì)算公式為：

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意列出a_na_n+1=5（n∈N₊），求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再求該數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答：解：由題意得，a_na_n+1=5（n∈N₊），且a₁=2
∴a₂=

5

2

，a₃=2，a₄=

5

2

，a₅=2，a₆=

5

2

，
∴a_n=

2  n為正奇數(shù) 5 2  n為正偶數(shù)

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)和偶數(shù)項(xiàng)數(shù)都是

n

2

，
則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=

n

2

×2+

n

2

×

5

2

=

9n

4

，
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)是

n+1

2

，偶數(shù)項(xiàng)數(shù)是

n-1

2

，
則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=

n+1

2

×2+

n-1

2

×

5

2

=

9n-1

4

故答案為：Sn=

9n 4 n是正偶數(shù) 9n-1 4 n是正奇數(shù)

點(diǎn)評：此題的思想方法要抓住給出的信息，觀察數(shù)列的規(guī)律，總結(jié)出項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)之間的關(guān)系，求出通項(xiàng)公式，求數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)需要分類討論，一定清楚奇數(shù)項(xiàng)數(shù)與偶數(shù)項(xiàng)數(shù)，否則容易出錯(cuò)．