Question

【題目】已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 X 軸上，橢圓 C 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．
（1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線 與橢圓 C 相交于 A,B 兩點(diǎn)（ A,B 不是左右頂點(diǎn)），且以 AB 為直徑的圖過橢圓 C 的右頂點(diǎn)．求證：直線 l 過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，由已知得： ，

所以 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．

（2）

【解答】設(shè) ．聯(lián)立

得 ，則

又

因?yàn)橐?AB 為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn) ，

，即 ． 所以．

． ．

解得： ，且均滿足 ．

當(dāng) 時(shí)， l 的方程 ，直線過點(diǎn) (2,0) ，與已知矛盾；

當(dāng) 時(shí)， l 的方程為 ，直線過定點(diǎn) ．

所以，直線 l 過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 ．

【解析】（1）橢圓 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，橢圓 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1；可得 ；進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）中由直線交橢圓于不同兩點(diǎn)得不等式△＞0，由中點(diǎn)橫坐標(biāo)得一方程，兩者聯(lián)立即可求得范圍，稱為“方程不等式法”，解題中注意應(yīng)用．