Question

【題目】如圖,拋物線E:y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上,以C為圓心, |CO| 為半徑作圓,設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點M,N.

（1）若點C的縱坐標(biāo)為2,求|MN| .
（2）若|AF|2=|AM|·|AN| ,求圓C的半徑.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】拋物線y2=4x的準(zhǔn)線l的方程為x=-1,

由點C的縱坐標(biāo)為2,得點C的坐標(biāo)為(1,2),所以點C到準(zhǔn)線l的距離d=2,又|CO|= .所以 .

（2）

【解答】設(shè) ,則圓C的方程為 ,

即x2- x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+ =0,

設(shè)M(-1,y1),N(-1,y2),則:

由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,

所以 +1=4,解得y0=± ,此時Δ>0,

所以圓心C的坐標(biāo)為 或 ,

從而|CO|2= ,|CO|= ,即圓C的半徑為 .

【解析】垂徑定理求圓的弦長MN,第 (2)問,先設(shè)C的坐標(biāo),寫出圓方程,聯(lián)立方程,然后結(jié)合已知條件列式求解.