Question

已知函數(shù).
（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當時，在函數(shù)圖象上取不同兩點A、B，設線段AB的中點為，試探究函數(shù)在Q點處的切線與直線AB的位置關系？
（3）試判斷當時圖象是否存在不同的兩點A、B具有（2）問中所得出的結(jié)論.

Answer 1

（1）時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）所以函數(shù)Q點處的切線與直線AB平行；
（3）圖象不存在不同的兩點A、B具有（2）問中所得出的結(jié)論.

試題分析：（1）求導即可知其單調(diào)性；（2）利用導數(shù)求出函數(shù)在點Q處的切線的斜率，再求出直線AB的斜率，可看出它們是相等的，所以函數(shù)在Q點處的切線與直線AB平行；
（3）設，若滿足（2）中結(jié)論，則有
，化簡得（*）.如果這個等式能夠成立，則存在，如果這個等式不能成立，則不存在.設，則*式整理得，問題轉(zhuǎn)化成該方程在上是否有解.再設函數(shù)，下面通過導數(shù)即可知方程在上是否有解，從而可確定函數(shù)是否滿足（2）中結(jié)論.
（1）由題知，
當即時，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；
當，由解得，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；                                             4分
（2），，

所以函數(shù)Q點處的切線與直線AB平行；            .7分
（3）設，若滿足（2）中結(jié)論，有
，即
即   （*）               .9分
設，則*式整理得，問題轉(zhuǎn)化成該方程在上是否有解； 11分
設函數(shù)，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，即，即方程在上無解，即函數(shù)不滿足（2）中結(jié)論    14分