Question

【題目】已知向量 =（cos ，sin ）， =（cos ，﹣sin ），函數(shù)f（x）= ﹣m| + |+1，x∈[﹣ ， ]，m∈R．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，求f（ ）的值；
（2）若f（x）的最小值為﹣1，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)g（x）=f（x）+ m2 ， x∈[﹣ ， ]有四個(gè)不同的零點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（cos ，sin ）（cos ，﹣sin ）=cos cos ﹣sin sin =cos（ + ）=cos2x，

當(dāng)m=0時(shí)，f（x）= +1=cos2x+1，

則f（ ）=cos（2× ）+1=cos +1= ；

（2）解：∵x∈[﹣ ， ]，

∴| + |= = =2cosx，

則f（x）= ﹣m| + |+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，

令t=cosx，則 ≤t≤1，

則y=2t2﹣2mt，對(duì)稱軸t= ，

①當(dāng) ＜ ，即m＜1時(shí)，

當(dāng)t= 時(shí)，函數(shù)取得最小值此時(shí)最小值y= ﹣m=﹣1，得m= （舍），

②當(dāng) ≤ ≤1，即m＜1時(shí)，

當(dāng)t= 時(shí)，函數(shù)取得最小值此時(shí)最小值y=﹣ =﹣1，得m= ，

③當(dāng) ＞1，即m＞2時(shí)，

當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取得最小值此時(shí)最小值y=2﹣2m=﹣1，得m= （舍），

綜上若f（x）的最小值為﹣1，則實(shí)數(shù)m= ．

（3）解：令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+ m2=0，得cosx= 或 ，

∴方程cosx= 或 在x∈[﹣ ， ]上有四個(gè)不同的實(shí)根，

則 ，得 ，則 ≤m＜ ，

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ≤m＜ ．

【解析】（1）利用向量數(shù)量積的公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）即可．（2）求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行討論求解即可．（3）由g（x）=0得到方程的根，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．