Question

【題目】拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，A，B是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠AFB= ．設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為N，則 的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，A、B在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影點(diǎn)分別為Q、P，
連接AQ、BQ
由拋物線(xiàn)定義，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中根據(jù)中位線(xiàn)定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得|AB|2=a2+b2﹣2abcos =a2+b2+ab，
配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，
又∵ab≤（ ）2 ，
∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（ ）2= （a+b）2
得到|AB|≥ （a+b）．
所以 ≤ = ，即 的最大值為 ．
故選C．

設(shè)|AF|=a、|BF|=b，由拋物線(xiàn)定義結(jié)合梯形的中位線(xiàn)定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得|AB|2=a2+b2+ab，結(jié)合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得 的最大值．